Principes de comptabilité générale Algèbre financière : solution 2714

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LI.

Réponse a) 

Il s'agit d'un remboursement d'emprunt dont on ignore la durée.

or la formule de départ est :

V = a * [1 - (1/(1+r)ⁿ] / r

ou

V * r / a = 1 - (1/(1+r)ⁿ

ou

V * r / a - 1 = - (1/(1+r)ⁿ

ou

1 - V * r / a = + (1/(1+r)ⁿ

ou

1 / [1 - V * r / a] = (1+r)ⁿ

ou

log {1 / [1 - V * r / a] } = n * log (1+r)

ou

log {1 / [1 - V * r / a] } / log (1+r) = n

ou

log {1 / [1 - 500000 * 0,03 / 18000] } / log (1,03) = n

ou

log {1 / [1 - 0,8333333333...] } / log (1,03) = n

ou

log 6 / log (1,03) = n

ou

n = 0,77815125038364363250876679797961 / 0,012837224705172205171071194580239
= 60,616 semestres soit une bonne trentaine d'années.

Le banquier touchera donc 60,616 * 18000 soit 1 091 088 €

Réponse b)  - sans avoir répondu au c préalablement

Il s'agit d'un remboursement d'emprunt dont on connaît la durée, mais on ignore la "semestrialité".

or la formule de départ est :

V = a * [1 - (1/(1+r)ⁿ] / r

ou

V * r / [1 - (1/(1+r)ⁿ] = a

ou

500000 * 0,03 / [1 - (1/(1,03)⁵⁰] = a

ou

500000 * 0,03 / [0,77189292021024621642181659821291] = a

ou

19432,75 = a

réponse tout-à-fait acceptable compte tenu de la réponse du a.
Si en payant 18000 par semestre, il fallait une trentaine d'années,
pour arriver à à 25 ans, il faudra accepter de payer plus par semestre...

Réponse c)  - méthode 1 : sans avoir répondu au b préalablement

Pour le banquier, il s'agit d'un capital de 500 000 €, à 3 % par semestre pendant 25 ans (soit 50 semestres)

C₅₀ = 500000 * 1,03⁵⁰ = 2 191 953,01 €

Cette somme inclut les intérêts que percevra le banquier sur les montants perçus et que le banquier replacera... évidemment...

Réponse c)  - méthode 2 : après avoir répondu au b

Le banquier aura reçu 50 mensualités de 19432,75 €, soit 971 637,50 €. Ce montant est la vraie réponse à la question, il ne tient pas compte que le banquier va placer ces 'semestrialités' au fur et à mesure qu'il les touchera, et en recevra donc des intérêts.

Réponse c)  - méthode 3 : après avoir répondu au b

Le banquier, aura reçu 50 mensualités de 19432,75 €, il les placera au fur et aà mesure de leur réception ce qui engendrera un montant de  

A = [a * (1+r)ⁿ - 1] / r

= 19432,75 * [ 1,03⁵⁰ - 1 ] / 0,03

= 19432,75 * 3,3839060187070899052409736192529 / 0,03

= 2 191 953,32 (à quelques centimes près, le même montant qu'en méthode 1)

ou

ou

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