Algèbre financière : solution 2714
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Algèbre financière : solution 2714 |
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LI.
Réponse a)
Il s'agit d'un remboursement d'emprunt dont on ignore la durée.
or la formule de départ est :
V = a * [1 - (1/(1+r)n] / r
ou
V * r / a = 1 - (1/(1+r)n
ou
V * r / a - 1 = - (1/(1+r)n
ou
1 - V * r / a = + (1/(1+r)n
ou
1 / [1 - V * r / a] = (1+r)n
ou
log {1 / [1 - V * r / a] } = n * log (1+r)
ou
log {1 / [1 - V * r / a] } / log (1+r) = n
ou
log {1 / [1 - 500000 * 0,03 / 18000] } / log (1,03) = n
ou
log {1 / [1 - 0,8333333333...] } / log (1,03) = n
ou
log 6 / log (1,03) = n
ou
n = 0,77815125038364363250876679797961 / 0,012837224705172205171071194580239
= 60,616 semestres soit une bonne trentaine d'années.
Le banquier touchera donc 60,616 * 18000 soit 1 091 088 €
Réponse b) - sans avoir répondu au c préalablement
Il s'agit d'un remboursement d'emprunt dont on connaît la durée, mais on ignore la "semestrialité".
or la formule de départ est :
V = a * [1 - (1/(1+r)n] / r
ou
V * r / [1 - (1/(1+r)n] = a
ou
500000 * 0,03 / [1 - (1/(1,03)50] = a
ou
500000 * 0,03 / [0,77189292021024621642181659821291] = a
ou
19432,75 = a
réponse tout-à-fait acceptable compte tenu de la réponse du a.
Si en payant 18000 par semestre, il fallait une trentaine d'années,
pour arriver à à 25 ans, il faudra accepter de payer plus par semestre...
Réponse c) - méthode 1 : sans avoir répondu au b préalablement
Pour le banquier, il s'agit d'un capital de 500 000 €, à 3 % par semestre pendant 25 ans (soit 50 semestres)
C50 = 500000 * 1,0350 = 2 191 953,01 €
Cette somme inclut les intérêts que percevra le banquier sur les montants perçus et que le banquier replacera... évidemment...
Réponse c) - méthode 2 : après avoir répondu au b
Le banquier aura reçu 50 mensualités de 19432,75 €, soit 971 637,50 €. Ce montant est la vraie réponse à la question, il ne tient pas compte que le banquier va placer ces 'semestrialités' au fur et à mesure qu'il les touchera, et en recevra donc des intérêts.
Réponse c) - méthode 3 : après avoir répondu au b
Le banquier, aura reçu 50 mensualités de 19432,75 €, il les placera au fur et aà mesure de leur réception ce qui engendrera un montant de
A = [a * (1+r)n - 1] / r
= 19432,75 * [ 1,0350 - 1 ] / 0,03
= 19432,75 * 3,3839060187070899052409736192529 / 0,03
= 2 191 953,32 (à quelques centimes près, le même montant qu'en méthode 1)
ou
ou
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