Maths et économie

Solvay Brussels School : aout 2012
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Énoncé :

analyse mathématique (topologie, suites, limites, continuité, dérivés, étude de fonctions)
d'après http://mathecosolvay.files.wordpress.com/2012/12/exanpr0912.pdf


Août 2012 (1 heure et 45 minutes)

Q1.

a) Soit A, un sous-ensemble non vide de IR.
Définir: - point intérieur de A
- point d’accumulation de A
- voisinage d’un point

(1.5 pt.

b) Soit A un sous-ensemble non vide de IR et CA son complémentaire.
Dans les phrases suivantes, remplacer ……………….. par “est parfois”, “est toujours” ou “n’est jamais”. Justifier une réponse au choix.
(Pour une réponse « est toujours » ou « n’est jamais », justifier théoriquement, pour une réponse « est parfois », donner un exemple de chaque cas).

1°) Un point d’accumulation de A ……………..….………………. un point intérieur de A
2°) Un point intérieur de A ………………...……………….un point adhérent de A
3°) Un point de CA…………….……………………. un point intérieur de A
4°) Un point de CA…………….…………………… un point adhérent de A

(2.5 pts.)

Q2.

a) Définir: - suite réelle convergente et suite réelle divergente.
- sous-suite d’une suite réelle.

(1 pt.)

b) Démontrer que si )n (u est une suite réelle convergente, la suite n (k.u ) converge ? ?k IR.

(1.5 pt.)

c) Compléter les cases des trois premières colonnes du tableau suivant par « oui » ou « non ».
Donner, dans la quatrième colonne, si elle existe, la valeur dans IR de la limite de la suite (n ∈ IN0).
Indiquer ∄ si elle n'existe pas dans IR .
Justifier soigneusement la réponse de deux des cases du tableau au choix mais dans deux colonnes
différentes
(remarque : n ∈ IN0).

(un)
 
bornée croissante décroissante limn→∞(un)
-  1 
  n
       
(-1)n  
n
       
(-2)n
 
       
-(2n)
 
       

(3 pts.)

Q3.

a) Définir : - fonction dérivable en un point

(0.5 pt.)

b) Démontrer (en détaillant la démonstration !!) la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables.

(2 pts.)

c) Soit f(x) = |  x⋅e1-x - 1     si x≠1
                     |     x-1
                     |
                     | 0                   si x=1 .

Étudier la continuité et la dérivabilité de f(x) en x = 1.

(3 pts.)

Q4.

Énoncer le théorème des accroissements finis.
En donner une interprétation géométrique (dessin et explication !!).
Ne pas démontrer.

(1.5 pt.)

Q5.

Donner (réponse finale uniquement)

a) l'approximation de Taylor d'ordre 1 de f(x) = 2 1x (x2 + 3).e 1 - x au voisinage de a = 1.

6 - 2 x

(1 pt.)

b) pour la fonction f(x) = 1 ln x - .

- son domaine de définition (0,e]

(1 pt.)

- l’équation d’une asymptote verticale (indiquer ? si elle n’existe pas) x = 0 (à droite)

(0.5 pt.)

c) la fonction dérivée de la fonction f(x) = 4x (3 sin5x) - .
20x.cos5x 4x ). (3 - sin5x) (4.ln(3 - sin5x 3 s ) in5x

-

(

)

-

(1 pt.)

 

       SOLUTION