Principes de comptabilité générale

Algèbre financière
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États financiers et ratios (26) | | Retour à l'introduction (01)

Contenu

 

 

  1. Intérêts simples
  2. Intérêts composés
  3. Annuités
  4. Emprunts
  5. En résumé
  6. Exercices

 

 

 

 

I.    Intérêts simples

 

  1. exemple introductif
  2. démonstration ou monstration
  3. exemple chiffré et remarque
  4. capitalisation, actualisation et autre inflation...
  5. méthode des nombres et des diviseurs fixes

Quelle est la valeur acquise par 8500 €, placés sur un carnet d'épargne pendant 6 ans à 4,5 % (on retire les intérêts chaque année).. // Confusion intérêt (i) et taux d'intérêt (r)

 

A.             Exemple introductif

CAPITAL
INTÉRÊT

Je place 10000 € pendant 10 ans...à 10 %

mon capital devient :

               an 0  : 10000

               an 1  : 10000      + 1000    = 11000

               an 2  : 11000      + 1000    = 12000

               an 3  : 12000      + 1000    = 13000

               an 4  : 13000      + 1000    = 14000

               etc...

Je place 10000 € pendant 10 ans...à 10 %

mon intérêt devient :

                    an 0  :     0

                    an 1  : 1000

                    an 2  : 2000

                    an 3  : 3000

                    an 4  : 4000

                    etc...

 

L'intérêt : c'est la somme que rapporte un capital placé ou prêté, ou la somme que coûte un capital emprunté ;
ou
c'est le prix de la privation de l'utilisation de ce capital, payé par un agent économique (l'emprunteur) à un autre agent économique (le prêteur).
L'intérêt est donc toujours mentionné en unité monétaire (euro, dollar, etc.).
Taux d'intérêt : c'est le rapport entre l'intérêt annuel et le capital prêté/emprunté (souvent exprimé en %, parfois aussi en valeur décimale [4 % ou 0,04]).
Le taux d'intérêt nominal est le taux d'intérêt établi par contrat ;
le taux d'intérêt réel élimine quant à lui les effets de l'inflation.
Le capital de départ : c'est une somme d'argent possédée par un individu, une famille ou une entreprise et pouvant rapporter un intérêt.

Caractéristiques:

Observation mathématique :

les matheux auront remarqué que capital+intérêt forme une suite arithmétique.

Formule du calcul de l'intérêt :

 

 

 

 

B.              Démonstration ou monstration ?

CAPITAL
INTÉRÊT

                C0 =   capital de départ

                Ci =   capital à la ie période

                Cn =   capital à la ne période

                r  =   taux d'intérêt (rate)

                n  =   durée du placement en période

 

* première année

                C1       =  capital  + intérêt

                            =  C0   +  C0 * r

                            =  C0  *  ( 1 + r )

 

* deuxième année

                C2       =  capital  + intérêt

                            = C0  *  ( 1 + r )  +  C0 * r

                            =  C0  *  ( 1 + r + r )

                            =   C0  *  ( 1 + 2 * r )

 

* ne année

                Cn       =  capital  + intérêt

                            =    Cn-1   +  C0 * r

                            =   C0   *  ( 1 + (n-1) * r ) + C0 * r

                            =   C0  *  [ 1 + (n-1) * r ) + r ]

                            =   C0  *  ( 1 + n * r )

                C0 =   capital de départ

                Ii =   intérêt de la ie période

                In =   intérêt de la ne période

                r  =   taux d'intérêt (rate)

                n  =   durée du placement en période

 

* première année

                I1       =  intérêt

                            =    C0 * r

                            = 

 

* deuxième année

                I2       =  I1 + intérêt

                            = C0  *  r   +  C0 * r

                            =  C0  *  ( r + r )

                            =   C0  *  ( 2 * r )

 

* ne année

                In       =  In-1   + intérêt

                            =    In-1   +  C0 * r

                            =   C0   *  ( (n-1) * r ) + C0 * r

                            =   C0  *  [ (n-1) * r ) + r ]

                            =   C0  *  n * r

 

 

 

C.             Exemple chiffré et remarque

 

 

1.              Quelle est la valeur acquise par 8500 €, placés sur un carnet d'épargne pendant 6 ans à 4,5 % (on retire les intérêts chaque année).

 

                                                C0   = 8500

                                                r    = 0,045   (attention : 4,5 % ou 45/100)

                                                n    = 6

CAPITAL
INTÉRÊT

                Cn       = C0    * ( 1 + n * r )

                            = 8500   *   (1 + 6 * 0,045)

                            = 10 795

                in       = C0    * n * r

                            = 8500   *   6 * 0,045

                            = 2 295

 

Je place un capital de 300 € à du 3 % pendant 1 an


      300 . 3 . 1
I = —————— = 9 €
      100
pendant 5 ans


      300 . 3 . 5
I = —————— = 45 €
      100


Si je recherche :
       C . r . n
I =——————
      100

      100 . I
C = ——————
      r . n

      100 . I
r = ——————
      C . n

      I . 100
n =——————
      C . r

Je place un capital de 300 € à un taux de 2,5 %
pendant 6 mois.

      300 . 2,5 . 6
I = —————— = 3, 75 €
      100 . 12

pendant 3 mois


      300 . 2,5 . 3
I = —————— = 1, 88 €
      100 . 12


Si je recherche :
       C . r . n
I = ——————
      100 . 12

      100 . 12. I
C = ——————
      r . n

      100 . 12. I
r =——————
      C . n

      I . . 12 . 100
n =——————
      C . r

Je place 300 € à du 3 % pendant 60 jours


      300 . 3 . 60
I =—————— = 1 ,5 €
      100 . 360

pendant 95 jours


      300 . 3 . 95
I = ——————  = 2,38 €
      100 . 360


Si je recherche :
       C . r . n
I =——————
      100 . 360

      100 . 360. I
C =——————
      r . n

      100 . 360. I
r =——————
      C . n

      I . . 360 . 100
n =——————
      C . r

 

Fanny a placé un capital de 6500 € à du 4,5 % sur un compte à terme pendant 8 ans. Calcule l'intérêt à la fin du terme.
C = 6500
I = ?
n = 8
r = 4,5
                        C . r . n         6500 . 4,5. 8
Formule : I =—————— = —————— = 2340 €
                        100                 100

 


Après 10 ans de placement, le capital de Laure, soit 12500 € a rapporté 5000 € d'intérêts. À quel taux Laure avait-elle placé l'argent ?
C = 1250
I = 5000
n = 10
r = ?
                        C . r . n
Formule : I = ———— 100 . I = C . r .n
                        100
 
        100 . I         100 . 500
r = —————— = —————— = 4%
        C . n                 1250 . 10


Élise possède 600 €. Combien de temps doit-elle laisser la somme placée sur son livret d'épargne (4%) pour que l'intérêt rapport 600 € ?
 C = 600
 I = 600
 n = ?
 r = 4%
                        C . r . n
Formule : I =——————   ===>        100 . I = C . r . n
                        100
 
        100 . I         100 . 600
n = —————— = —————— = 25 ans
        C . r                 600 . 4


Quelle somme dois-tu placer en banque à du 5,5 % pour qu'elle te rapporte un intérêt annuel de 14850 € ?
 C = ?
 I = 14850
 n = 1 an
  r = 5,5 %
                        C . r . n
Formule : I = ——————        ===>        100 . I = C . r . n
                        100

        100 . I         100 . 14850
C = —————— = ————————— = 270000 €
        n . r                 5,5 . 1


Louise a laissé 520 € sur un compte d'épargne à du 3,25 % pendant 9 mois. Combien va-t-elle toucher d'intérêts ?
C = 520
I = ?
n = 9 mois
r = 3,25 %
                        C . r . n (mois)
Formule : I = —————— ——————         ===>        12. 100 . I = C . r . n
                        100 . 12

        r . C . n         3,25 . 520 . 9
I = —————— = ——————     =      12 , 68 €
        100 . 12         100 . 12


Mon compte à vue est en négatif de 1115 € depuis 78 jours. Quelle somme vais-je devoir rembourser à la banque pour ce découvert ? (14 %)
 
 C = 1115 €
 I = ?
 n = 78 jours
r = 14 %

                        C . r . n (jours)
Formule : I =                 ===>        360 . 100 . I = C . r . n
                        100 . 360

        r . C . n         14 . 1115 . 78
I = —————— = —————— = 33, 82 €
        100 . 360         100 . 360

Je dois rembourser le découvert + les intérêts soit
        1115 + 33,82 = 1148,82 €



Complète le tableau ci-dessous.

 

  Capital Taux Durée Intérêts
1 10.000,00 € 5 % 6 ans 3.000,00 €
2 5.000,00 € 8 % 123 jours 13,67 €
3 150.000,00 € 5 % 3 mois 1.875,00 €
4 2.000,00 € 2,5 % 1 an 50,00 €

 

 

 

d'après une préparation trouvée sur www.enseignons.be

 

 

2.              Confusion intérêt (i) et taux d'intérêt (r).

 

                                    i = intérêt =  ici :     8500 * 0,045 = 382,5 € (par an)
                   

                                    r = taux =      ici :     0,045 ou 4,5 % ou 45/100

 

 

D.             Capitalisation, actualisation et autre inflation

 

La valeur acquise (Cn) est la somme obtenue en ajoutant au capital les intérêts produits lors de la période qui suit le versement.

La valeur actuelle (C0) est la somme obtenue en enlevant au capital les intérêts dus lors de la période qui précède le versement.

Le lecteur est bien d'accord qu'un même montant ne présente pas la même valeur à des dates différentes... ce que je gagnais en 1976 n'a rien à voir avec ce que je gagne en 2009... même si j'ai toujours garder le même métier... Bref, on ne peux comparer que des choses comparables... et les euros de 2009 n'ont pas la même valeur que les francs de 1976...

Les formules développées ci-avant font bien allusion à l'avenir d'un capital placé aujourd'hui.

L'actualisation $$$

Observation mathématique :

les matheux auront remarqué que capital+intérêt forme une suite géométrique.

 

 

E.             Méthode des nombres et des diviseurs fixes

 

La méthode de calcul des intérêts permet des simplifications lors du calcul des intérêts dégagés par différents prêts dont le montant et la durée varient mais le taux est unique.
Cette méthode est principalement utilisée dans les calculs où les durées sont exprimées en jours.


        r . C . n             C . n                     N
I =       =          =     
        100 . 360         100 . 360 / r          D


Le diviseur est un diviseur fixe lorsque le taux des différents prêts est le même puisque ce terme ne dépend que de l'unité utilisée pour mesurer les durées et du taux.
Prenons le cas de 3 placements à 9 %:

Placements
leur montant
leur durée
P1 620,00 € 21 jours
P2 1452,00 € 32 jours
P3 845,00 € 55 jours


        620 * 21          1452 * 32             845 * 55
I = —————— + —————— + ——————
        360 / 0,09      360 / 0,09              360 / 0,09

ou


        13 020          46 464                    46 475
I = —————— + —————— + —————— soit 105 969 / 4000 ou 26,49 €
       4 000              4 000                      4 000

 

 

II. Intérêts composés

  1. définition
  2. exemple introductif
  3. démonstration ou monstration ?
  4. Exemples chiffrés
  5. Quelle est la valeur acquise par 8500 €, placés sur un carnet d'épargne pendant 6 ans à 4,5 % // Quelle est la valeur acquise par 8500 €, placés en bons de capitulation pendant 6 ans à 9 % (taux brut... donc 8,1 % net en début 93, devenant 7,7949 % net après le 01-01-94 et 7, 65 % depuis le 01-01-97... variation du précompte mobilier // et si le placement est fait pendant 5 ans et 7 mois ?

  6. problèmes dérivés
  7. Quelle somme faut-il placer à intérêts composés,  pour obtenir Cn aprè n années ? // À quel taux faut-il placer à intérêts composés la somme Co pour obtenir Cn après n années ? // Pendant combien de temps dois-je placer au taux r,  à intérêts composés,  la somme Co pour obtenir le montant Cn ?

  8. Autres notations

 

A.             Définition

 

Un capital est placé à intérêts composés quand, à la fin de chaque période, les intérêts s'ajoutent au capital, pour produire aussi des intérêts.

L'exemple le plus typique est celui d'un carnet d'épargne sur lequel un capital est versé et où le titulaire ne vient jamais retirer les intérêts, mais les laisse placés.

 

 

B.              Exemple introductif

CAPITAL
INTÉRÊT

Je place 10000 € pendant 10 ans...à 10 %

mon capital devient :

           an 0  : 10000

           an 1  : 10000      + 1000    = 11000

           an 2  : 11000      + 1100    = 12100

           an 3  : 12100      + 1210    = 13310

           an 4  : 13310      + 1331    = 14641

           etc...

Je place 10000 € pendant 10 ans...à 10 %

mon intérêt devient :

                                    an 0  :     0

                                    an 1  : 1000

                                    an 2  : 2100

                                    an 3  : 3310

                                    an 4  : 4641

                                    etc...

 

 

 

C.             Démonstration ou monstration ?

CAPITAL
INTÉRÊT

                C0 =   capital de départ

                Ci =   capital à la ie période

                Cn =   capital à la ne période

                r  =   taux d'intérêt (rate)

                n  =   durée du placement en période

 

* première année

                C1       =  capital  + intérêt

                            =  C0   +  C0 * r

                            =  C0  *  ( 1 + r )

 

* deuxième année

                C2       =  capital  + intérêt

                            = C1   +  C1 * r

                            =  C1  *  ( 1 + r )

                            =   C0  *  ( 1 + r ) * ( 1 + r )

                            =   C0  *  ( 1 + r )2

 

* ne année

                Cn       =  capital  + intérêt

                            =    Cn-1   +  Cn-1 * r

                            =   Cn-1  *  ( 1 + r )

                            =   C0  *  ( 1 + r )n-1 * ( 1 + r )

                            =   C0  *  ( 1 + r )n

                C0 =   capital de départ

                Ii =   intérêt de la ie période

                In =   intérêt de la ne période

                r  =   taux d'intérêt (rate)

                n  =   durée du placement en période

 

* première année

                I1       =  intérêt

                            =    C0 * r

                            = 

 

* deuxième année

                I2       =  C2 - C0

                            = C0  *  ( 1 + r )2  -  C0

                            =  C0  *  [( 1 + r)2 -  1]

                            =  

                            =  

 

* ne année

                In       =  Cn - C0

                            =    C0  *  ( 1 + r )n   -  C0

                            =   C0   *  [ ( 1 + r )n - 1]

                            =  

                            =  

 

 

 

 

D.             Exemples chiffrés

 

 

 

1.              Quelle est la valeur acquise par 8500 €, placés sur un carnet d'épargne pendant 6 ans à 4,5 %.

 

                                                C0   = 8500

                                                r    = 0,045   (attention : 4,5 %)

                                                n    = 6

 

                                    Cn       = C0    * ( 1 + r )n

                                                = 8 500   *   1,0456

                                                = 11 069,2 €

 

                                    In       = [ C0    * ( 1 + r )n - 1]

                                            ou    = 11 069,2 - 8 500

                                                = 2 569,2 €

 

2.              Quelle est la valeur acquise par 8500 €, placés en bons de capitulation pendant 6 ans à 9 % (taux brut... donc 8,1 % net en début 93, devenant 7,7949 % net après le 01-01-94 et 7,65 % depuis le 01-01-97...variation du précompte mobilier).

 

                                    C0   = 8500

                                    r    = 0,081   (attention : 8,1 %)

                                    n    = 6

 

                                    Cn       = C0    * ( 1 + r )n

                                                = 8500   *   1,0816

                                                = 13563,5 €

 

3.              Et si le placement est fait pendant 5 ans et 7 mois ??

 

                                    Il suffit de calculer n = 5 + 7/12  = 5,583

 

 

E.              Problèmes dérivés

 

 

1.              Quelle somme faut-il placer à intérêts composés, pour obtenir Cn après n années ?

 

                                                on sait que :      Cn            = C0 * (1+r)n

                                                donc :

                                                                  Cn        =  C0

                                                               (1+r)n

 

 

2.              À quel taux faut-il placer à intérêts composés la somme C0 pour obtenir Cn après n années ?

 

                                                on sait que :      Cn            = C0  *  (1 + r )n

                                                donc :

                                                             Cn / C0       =        (1 + r )n

                                                donc :

                                                             (Cn/C0)1/n    =        (1 + r )

                                                donc :

                                                             (Cn/C0)1/n- 1 =      r

 

 

3.              Pendant combien de temps dois-je placer au taux r, à intérêts composés, la somme C0 pour obtenir le montant Cn ?

 

                                                on sait que :      Cn            = C0  *  (1 + r )n

                                                donc :

                                                             Cn / C0       =        (1 + r )n

                                                donc :

                                                              log (Cn / C0) =     log (1 + r )n ]

                                                donc :

                                                             log (Cn / C0) = n * log (1 + r )

 

                                                             log (Cn / C0) = n

                                                             log (1 + r)

 

 

F.             Autres notations, autres outils...

 

1.              Excel de MSOffice et Calc d'OpenOffice : valeur future ou valeur acquise VC

Cn     = C0 * (1+r)n

Cn, "future value" ou "valeur acquise" est aussi parfois notée FV.
La fonction financière Excel VC (pour Valeur Cumulée ou Valeur Capitalisée) permet d’effectuer plus facilement le calcul de Cn.

Pour y accéder,
on commence par cliquer avec le bouton gauche de la souris sur l’icône fx dans la barre d’outils standard,
puis on sélectionne dans la catégorie de fonctions Finances la fonction VC.

Il y a 5 paramètres pour utiliser cette fonction.
Les 3 premiers sont obligatoires et les 2 derniers sont facultatifs.
Nous verrons leur utilisation ultérieurement.
L’appel de la fonction VC se fait comme suit : VC(TAUX ; NPM ; VPM ; VA ; Type) où

TAUX Taux périodique (r [si annuel] ou r/12 [si mensuel])
NPM Nombre de périodes (n [si années] ou n*12 [si mois])
VPM Montant remboursé pour chaque période ; ici mettre 0 ou laisser vide
VA Valeur actuelle (C0)
Type Facultatif (laisser vide ou mettre 0)


Ex. : Quelle est la valeur acquise par 100€ en 4 ans au taux de 6% capitalisé semestriellement ?

Solution :
6% capitalisé semestriellement, cela signifie un taux périodique de 3% par semestre.
4 ans, cela signifie 8 semestres.
Il suffit d’utiliser la fonction VC(3%; 8; 0; 100; 0) ou VC(0,03; 8; 0; 100; 0) et Excel donnera une valeur de –126,68€.
Le signe négatif s’explique par le fait que l’argent «voyagera» dans le sens opposé : il faut déposer 100€ pour pouvoir retirer 126,68€ ou (126,68€).
Si on veut que la réponse finale soit positive, il faut plutôt entrer : VC(3%; 8; 0; -100; 0)

Remarque :
On indique 0 ou on laisse vide le paramètre VPM, car on suppose "ne pas vivre de ses rentes", en d'autres mots, on n'effectue pas de retraits réguliers. Si dans le même cas envisagé, l'épargnant décidait de retirer 3 euros chaque trimestre (soit les intérêts de son placement), il ne lui resterait (il ne pourrait retirer) que le capital initial à la fin, résultat de la formule introduite VC(0,03; 8; -3; 100; 0) qui afficherait 100.
Pour les signes, il faut comprendre : placer 100 et retirer 3 semestriellement pour pouvoir retirer 100 après 8 semestres.

 

2.              Excel de MSOffice et Calc d'OpenOffice : valeur actuelle ou valeur présente VA

C0     =    Cn   
             (1+r)n

C0, "present value" est aussi parfois notée PV.

La fonction financière EXCEL VA (pour Valeur Actuelle) permet d’effectuer plus facilement le calcul de C0.

Pour y accéder,
on commence par cliquer avec le bouton gauche de la souris sur l’icône fx dans la barre d’outils standard,
puis on sélectionne dans la catégorie de fonctions Finances la fonction VA.

Il y a 5 paramètres pour utiliser cette fonction.
Les 3 premiers sont obligatoires et les 2 derniers sont facultatifs.
Nous verrons leur utilisation dans des chapitres ultérieurs.
L’appel de la fonction VA se fait comme suit : VA(i, n, PMT, FV, Type) où

i Taux périodique
n Nombre de périodes
PMT montant remboursé pour chaque période - mettre 0 ou laisser en blanc
FV Valeur acquise ou valeur future ou valeur capitalisée
Type Facultatif (laisser en blanc ou mettre 0)

Ex. : On veut disposer d’un capital de 25000€ dans 20 ans en déposant aujourd'hui une certaine somme d'argent dans une institution financière qui verse de l’intérêt au taux d’intérêt annuel de 5%.
Quelle somme faut-il déposer?

Solution : Il suffit d’utiliser la fonction Excel VA(5%; 20; 0; 25000; 0) ou VA(0,05; 20; 0; 25000; 0) et Excel donnera la valeur de –9422,24 ou (9422,24).
Là encore la réponse est négative car l’argent voyage en sens inverse.
Pour pouvoir retirer 25000€ dans 20 ans, il faut commencer par déposer 9422,24€ aujourd’hui.

Remarque :
Ici aussi, on indique 0 ou on laisse vide le paramètre PMT, car on suppose "ne pas vivre de ses rentes", en d'autres mots, on n'effectue pas de retraits réguliers. Si dans le même cas envisagé, notre épargnant décidait de retirer 50 euros chaque année, il lui aurait été nécessaire de placer bien plus que les 9422,24 €, calculés ci-avant... il aurait dû placer 10045,35 € pour ontenir ses 25 000 € à la fin en juissant d'une rente annuelle de 50 €, résultat de la formule introduite VC(0,05; 20; 50; 25000; 0) qui afficherait -10045,35.
Pour les signes, il faut comprendre : placer 10045,35 et retirer 50 annuellement pour pouvoir retirer 25000 après 20 ans.

 

 

III. Annuités

  1. définition
  2. démonstration
  3. Exemples chiffrés
  4. problèmes dérivés

Quel est le montant à placer annuellement,  pour obtenir après n versements au taux r,  un capital A ? // Quelle est le nombre d'années pendant lesquelles je dois verser un montant pour obtenir A au taux r ?

 

A.             Définition

 

                       On appelle annuité, une série de versements égaux (termes) faits annuellement (ou à échéances régulières) soit dans le but de constituer un capital, soit de rembourser une dette, à condition que les intérêts soient recapitalisés à chaque échéance.

 

 

B.              Démonstration

 

                                    A = la valeur acquise par les versements

                                    a = le montant de chaque versement

                                     r = le taux

                                    n = le nombre de versements

 

>> On suppose que les versements ont lieu à la fin de chaque terme, le premier à la fin du premier terme, et que le dernier ne rapportera donc pas d'intérêts.

 

   * on sait que A sera la somme de plusieurs versements qui resteront placés à intérêts composés, donc cette somme de n termes :

A       = a * (1+r)n-1  +  a * (1+r)n-2  +  a * (1+r)n-3  + ...+ ...+  a * (1+r)2 + a*(1+r) + a

 

   * si on laisse cette somme placée pendant un an, sans versement final, on aura toujours
      d'une part, la valeur acquise placée un an de plus,
      et d'autre part, encore une somme de n termes, mais dont chacun est resté placé un an de plus :

A*(1+r)         = a * (1+r)n    +  a * (1+r)n-1  +  a * (1+r)n-2  + ... + ...+  a * (1+r)2  + a*(1+r)

 

   * si on soustrait la première égalité de la deuxième (et oui, la deuxième est plus grande que la première), on aura :

A + A*r - A = a * (1+r)n    +  a * (1+r)n-1  +  a * (1+r)n-2  +  a * (1+r)n-3 ... + ...+  a * (1+r)2  + a*(1+r)
          - a * (1+r)n-1  -  a * (1+r)n-2  -  a * (1+r)n-3  - ...- ...-  a * (1+r)2 - a*(1+r) - a

 

A + A*r-A =  a * (1+r)n -  a

   ou,

A * r       =  a *  [ (1+r)n-1 ]

 

   et donc,

A   =  a * (1+r)n-1
               r

 

 

C.             Exemple chiffré

 

Quel capital vais-je obtenir en plaçant une annuité de 24 000 €, sur un carnet à 6,5 % pendant 15 ans, capitalisation annuelle ?

 

On sait que :

A   =  a * (1+r)n-1

                r

ou

A   = 24000 * [ 1,06515-1 ] / 0,065

ou,

A   = 580 372 €

 

>> À réfléchir : si je versais 2 000 € par mois au lieu de 24 000 € par an... avec capitalisation mensuelle (RÉP: 607 090 €)
Et oui, mon premier versement aura déjà rapporter 11 fois des intérêts qui seront eux-mêmes replacés et rapporteront des intérêts... de même pour les versements suivants...

 

 

 

D.             Problèmes dérivés

 

 

1.              Quelle est le montant à placer annuellement, pour obtenir après n versements au taux r, un capital A.

 

                                    * on sait que :

                                                                           

1

 

 

2.              Quel est le nombre d'années pendant lesquelles je dois verser un montant a pour obtenir A au taux r ?

 

                                    * on sait que :

                                                           

2

 

 

IV. Emprunts

  1. démonstration
  2. problèmes dérivés (plus fréquent)
  3. le taux de chargement, quelle tromperie !

Quel est le versement annuel,  si j'emprunte V au taux r pendant n années ? // Quel remboursement annuel pour emprunter 1 million en 20 ans à 11 % ?

 

 

A.             Démonstration

 

*          Contrairement au placement par annuités pour obtenir un capital A dans n années, il s'agit d'obtenir immédiatement le montant V.  V est donc la valeur actuelle (à recevoir aujourd'hui) du montant A (obtenu en versant les annuités, pendant n années).

                                                                            

3

* Autre démonstration

Je désire emprunter V aujourd'hui.

Pour mon banquier, soit il accepte de me prêter V, et je lui verse chaque année un montant a, soit il refuse de me le prêter et place ce montant V pendant n années.

S'il accepte de me prêter V, je lui verserai un montant a pendant n années ; au bout des n années, il aura obtenu :

A = a * [(1 +r)n+1] / r

Si, par contre, mon banquier refuse de me prêter V aujourd'hui, il va garder ce montant et le placer (plutôt à intérêts composés qu'à intérêts simples ;o). Au bout de n années, il espère que son capital de départ V devienne :

Vn = V * (1+r)n 

 Quel que soit le choix du client et du banquier, le banquier espère obtenir la même chose au terme des n années prévues, donc :

a * [(1 +r)n-1] / r = V * (1+r)n 

Et donc,

a * [(1 +r)n-1] / r = V
(1+r)n 

ou mieux,

a * [1-1/(1+r)n ] = V
r

ou, formule dérivée,

a =      V * r     
      [1-1/(1+r)n ]

 

Cette formule établit bien que l'annuité est constante durant toute la durée de l'emprunt, et que l'intérêt à payer n'est calculé que sur le "solde restant dû".
Au début du remboursement, la part d'intérêt est forte (il reste beaucoup à rembourser) ; cette part d'intérêt va en diminuant (puisque le montant à rembourser diminue) et le dernier remboursement ne comprend presque plus d'intérêt (presque tout est remboursé).
À contrario, puisque l'annuité (ou la mensualité) est constante, la part de capital remboursée à chaque versement va en augmentant...
Bref, ceci confirme un adage généralement connu : "au début on ne rembourse que des intérêts, le capital n'est remboursé qu'à la fin".

* Troisième approche : Le montant V que j'emprunte aujourd'hui est la somme des n montants à actualiser à la date d'aujourd'hui au taux r.

La première annuité, versée dans un an : a * (1+r)-1
la deuxième annuité, versée dans 2 ans : a * (1+r)-2
la troisième annuité, versée dans 3 ans : a * (1+r)-3
la quatrième annuité, versée dans 4 ans : a * (1+r)-4
la cinquième annuité, versée dans 5 ans : a * (1+r)-5
...
la dernière annuité, versée dans n ans : a * (1+r)-n

donc, V =

;

Ainsi, en supposant un emprunt de 100 000 €, pendant 20 ans à un taux annuel de 12 %, cela donnerait une annuité de 13 387,88 € ainsi selon les années :

année
nov-08
nov-09
nov-10
nov-11
nov-12
nov-13
nov-14
nov-15
nov-16
nov-17
nov-18
nov-19
nov-20
nov-21
nov-22
nov-23
nov-24
nov-25
nov-26
nov-27
 
intér
12 000,00
11 833,45
11 646,92
11 438,01
11 204,03
10 941,96
10 648,45
10 319,72
 9 951,54
 9 539,18
 9 077,34
 8 560,07
 7 980,74
 7 331,88
 6 605,16
 5 791,24
 4 879,64
 3 858,65
 2 715,14
     1 434,42    
167 757,56   
capital
 1387,88
 1554,42
 1740,95
 1949,87
 2183,85
 2445,92
 2739,43
 3068,16
 3436,33
 3848,70
 4310,54
 4827,80
 5407,14
 6056,00
 6782,72
 7596,64
 8508,24
 9529,23
10 672,73
   11 953,46   
 100 000,00   

On constate que la 1re année,
l'intérêt est de 12 000 €, soit 12 % du capital emprunté et encore dû (100 000 €),
le reste de l'annuité constante (soit 1 387,88 €) est affectée au remboursement de capital (très faible).

La onzième année,
le capital restant dû en début d'année sera encore de 75 644,50 €,
l'intérêt de 12% sur ce solde restant dû est de 12 %, soit 9 077,34 €,
le reste de l'annuité servira au remboursement de capital, soit 4 310,54 €.

La dernière année,
le capital restant dû est de 11 953,46 €,
sur lequel un intérêt de 12 % est toujours calculé, soit 1 434,42 € ;
le total des deux donne toujours la même annuité.

Observation mathématique :

Dans le cas d'annuités constantes qui permettent de rembourser en totalité l'emprunt en n périodes, les amortissements forment une suite géométrique de raison (1+r) et l'annuité ou mensualité a peut être exprimée en fonction des autres données V, r et n.

 

B.              Problème dérivé (plus fréquent)

 

 

1.              Quel est le versement annuel, si j'emprunte V au taux r pendant n années ?

 

* on sait que :

                                                                            

4

 

 

2.              Quel remboursement annuel pour emprunter 1 million en 20 ans à 11 % ?

 

                                    a     = V *        r     .
                                                [1-1/(1+r)n]

 

                                                 = 1 000 000 * 0,11 / (1-1/1,1120)

                                                = 125 576 € par an

 

>>À réfléchir : cela revient-il au même que de verser le douzième, soit 10 465 € par mois ? (RÉP: 10 322 €)

 

 

 

 

 

3.              Le taux de chargement, quelle tromperie !

 

a. présentation du taux de chargement

Contrairement à la formule de l'emprunt vue ci-dessus, dans le cas d'un emprunt calculé avec taux de chargement, on part de l'idée que :
(1) la part de capital est constante [le capital divisé par le nombre de versements à effectuer] ;
(2) l'intérêt est constant, mais non pas calculé sur le "solde restant dû", mais sur le capital emprunté.

Illustrons par un exemple :
reprenons l'exemple pris ci-dessus, à savoir un emprunt de 100 000 €, pendant 20 ans à un taux annuel de 12 %, qui donnait une annuité de 13 387,88 €, ventilée selon les années en partie capital (faible au début, fort à la fin) et en partie intérêts (fort au début, faible à la fin) ;

comme le taux de chargement est un taux mensuel sur le capital de départ, nous choisirons évidemment 1 %.

Le calcul de l'annuité se fera rapidement :
pour le capital,
100 000 € à rembourser en 20 ans, soit 5 000 € ;
pour l'intérêt,
par mois, 1 % calculé sur 100 000, soit 1 000 par mois ou 12 000 par an ;

l'annuité totale étant de 17 000 €.

Le lecteur aura vite compris la supercherie du taux de chargement, devenu illégal en Belgique.

 

b. première analyse de la supercherie du taux de chargement

Pour la première année, l'intérêt calculé de 12 000 correspond bien aux 12 % annuels sur les 100 000 € ...

Après 5 ans, calculer 12 000 d'intérêt pour la sixième année, alors que le capital restant dû n'est plus que 100 000 au départ, diminué de 5 remboursements de capital de 5 000 par an, soit 100 000 - 25 000, ou encore 75 000 €... ça commence à faire cher comme intérêt (12 000/75 000 = 16 %).

Après 10 ans, calculer 12 000 d'intérêt pour la onzième année, alors que le capital restant dû n'est plus que 100 000 au départ, diminué de 10 remboursements de capital de 5 000 par an, soit 100 000 - 50 000, ou encore 50 000 €... c'est de plus en plus cher comme intérêt (12 000/50 000 = 24 %).

Après 15 ans, calculer 12 000 d'intérêt pour la seizième année, alors que le capital restant dû n'est plus que 100 000 au départ, diminué de 15 remboursements de capital de 5 000 par an, soit 100 000 - 75 000, ou encore 25 000 €... ça devient trop cher comme intérêt (12 000/25 000 = 48 %).

Mais calculer 12 000 d'intérêt pour la dernière année, alors que le capital restant dû n'est plus que 100 000 au départ, diminué de 19 remboursements de capital de 5 000 par an, soit 100 000 - 95 000, ou encore 5 000 €... ce n'est pas cher comme intérêt, c'est un intérêt intolérable (12 000/5 000 = 240 %).

 

e. deuxième essai de correction de la supercherie du taux de chargement : la durée réelle

Ce taux de chargement était un mauvais calcul, car il est calculé sur le montant total de l'emprunt, sans tenir compte, qu'au fur et à mesure des mois qui passent, le capital va en diminuant, donc, les intérêts devraient aller en diminuant.

D'où l'idée (une parmi d'autres) de faire un calcul de durée réelle.

12000, intérêt à payer sur 20 ans,
11400, intérêt à payer sur 19 ans,
10800, intérêt à payer sur 18 ans,
10200, intérêt à payer sur 17 ans,
  9600, intérêt à payer sur 16 ans,
  9000, intérêt à payer sur 15 ans,
  8400, intérêt à payer sur 14 ans,
  7800, intérêt à payer sur 13 ans,
  7200, intérêt à payer sur 12 ans,
  6600, intérêt à payer sur 11 ans,
  6000, intérêt à payer sur 10 ans,
  5400, intérêt à payer sur 9 ans,
  4800, intérêt à payer sur 8 ans,
  4200, intérêt à payer sur 7 ans,
  3600, intérêt à payer sur 6 ans,
  3000, intérêt à payer sur 5 ans,
  2400, intérêt à payer sur 4 ans,
  1800, intérêt à payer sur 3 ans,
  1200, intérêt à payer sur 2 ans,
    600, intérêt à payer sur 1 an,

En prenant la première année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 2e et la 20e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 3e et la 19e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 4e et la 18e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 5e et la 17e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 6e et la 16e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 7e et la 15e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 8e et la 14e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 9e et la 13e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an
En regroupant la 10e et la 12e année, c'est comme si on empruntait 12000 € pendant 1 an

En regroupant le 11e et le 11e année, c'est comme si on empruntait pendant 1 année,

mais il n'y a qu'une seule 11e année, donc c'est comme si l'on empruntait pendant 0,5 année.

La durée moyenne (baptisée durée réelle) sera donc de (20+1)/2 soit 10,5 années au lieu des 20 initialement calculées,
ou bien 10 * 1 année + 1 fois une demie année.

Les années manquantes ne disparaissent pas, mais on considère l'emprunt et les intérêts à payer réellement sur 13,5 années au lieu des 20 années.

 

f. troisième essai de correction de la supercherie du taux de chargement : la formule de correction

Il existe aussi une formule approximative de correction... elle permet de calculer le TAEG (ou TEG) en connaissant le taux de chargement :

taux réel = Taux de chargement (mensuel) x 24 x nombre de périodes
                     (nombre de périodes + 1)

Dans le cas de l'emprunt présenté ci-dessus au taux de chargement de 12 % l'an, on aurait :

TAEG = 0,01 * 24 * 20 / 21, soit 22,86 %

 

V. En résumé

 

 

Synthèse des formules

Intérêts simples

 

Cn = C0 . (1+n.r)

 

Intérêts composés

 

Cn = C0 . (1+r)n

 

r = ( Cn/C0)1/n – 1 

      

n = log (Cn/C0)

       log (1+r)

 

Annuités

 

A = a . (1+r)n – 1

                 R

 

a =      A . r      
         (1+r)n – 1  

 

n = log (A . r +a) log a
log (1+r)

 

Emprunts

 

V = a . 1-1/(1+r)n
                r

 

a =      V . r       
      1-1/(1+r)n

 

 

 

 

 

 

 


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